1. Chaque face est un p-gone, chaque sommet est commun à q faces et chaque arête est commune à deux faces. On peut donc dresser le tableau suivant :
 

F+S-A = 2 quelque soit le polyèdre (voir tableau).

Si le symbole <-> désigne la dualité, on a:

Tétraèdre <-> Tétraèdre;

Octaèdre <-> Cube et Dodécaèdre <-> Icosaèdre;

car il suffit d'inverser le nombre de sommets et de faces dans le tableau.

Pour les prismes et antiprismes on impose qu'il y ait deux faces k-gonales parallèles et l'on joint ces deux faces par des carrés (prismes) ou des triangles (antiprismes) pour fermer le polyèdre. On voit ainsi que le cube peut être vu comme un prisme à base carré, et que son dual l'octaèdre est un antiprisme à base triangulaire. De manière plus générale le dual d'un prisme est une bipyramide, tandis que le dual d'un antiprisme est un trapézoèdre.

La connectivité du squelette de radiolaire est r = 3.

D'après l'excercice 14, il obéit donc à la relation f(5) = 12 + f(7), puisque l'on observe pas de triangles (f(3) = 0) ni de carrés (f(4) = 0).

 Le coefficient de f(6) étant nul, on peut donc mettre autant d'hexagones que l'on veut pour fermer le squelette.

Cette relation nous montre aussi qu'il faut exactement 12 pentagones de plus que d'heptagones.

Les heptagones ne sont bien évidemment pas nécessaires car si f(7) = 0 on peut encore former un squelette en utilisant exactement 12 pentagones et un nombre quelconque d'hexagones.

L'antiprisme à base pentagonale appartient à la famille des dodécaèdres (12 faces).

Sa connectivité est r = 4.

Pour trouver la relation caractéristique d'une famille de polyèdres, on part de la relation trouvée à l'excercice 14 et on pose µ = 0, soit: c(3) + 2c(4) + 3c(5) = 2F - 4 = 20 dans le cas particulier des dodécaèdres (F = 12).

L'antiprisme à base pentagonale appartient bien à cette famille avec c(4) = 10 et c(3) = c(5) = 0.

Si c(4) = c(5) = 0, on trouve le dodécaèdre pentagonal avec c(3) = 20.

En revanche il n'est pas possible de construire un dodécaèdre ne présentant que des sommets de connectivité r = 5, car 20 n'est pas divisible par 3.

Pour savoir s'il existe un dodécaèdre avec r = 4 et 5, il faut que 2c(4) + 3c(5) = 20 ayant une solution c(4) = c(5) = 4, c'est-à-dire un polyèdre à 8 sommets.

Pour savoir si ce polyèdre peut n'avoir que des faces triangulaires, on repart de la relation de l'exercice 14 et on fait maintenant µ = 1, soit:

f(3) + 2f(4) + 3f(5) + ... + (k-2)f(k) = 2S - 4 = 12. On voit qu'avec S = 8, il faut que f(3) = 12. le dodécaèdre à face triangulaire existe donc bien.

Pour dénombrer la famille des deltaèdres, il faut trouver une relation caractéristique en annulant le coefficient de f(3) dans la relation de l'exercice 14, soit µ = 2/3.

Comme de plus on doit avoir r < 6, il vient: 3c(3) + 2c(4) + c(5) = 12, d'où le dénombrement suivant:

(0, 0, 12) = icosaèdre; (0, 1, 10) = ?; (0, 2, 8) = antiprisme carré bicoiffe; (0, 3, 6) = prisme trigonal tricoiffe; (0, 4, 4) = dodécaèdre triangulaire; (0, 5, 2) = bipyramide pentagonale; (0, 6, 0) = octaèdre

(1, 0, 9) = ?; (1, 1, 7) = ?; (1, 2, 5) = ?; (1, 3, 3) = ?; (1, 4, 1) = ?

(2, 0, 6) = ?; (2, 1, 4) = ?; (2, 2, 2) = ?; (2, 3, 0) = bipyramide trigonale

(3, 0, 3) = ?; (3, 1, 1) = ?

(4, 0, 0) = tétraèdre

On retrouve ainsi les principaux polyèdres de coordination de la chimie inorganique.

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