Soit un polyèdre ayant n faces (n-èdre) à p côtés (p-gone) avec q faces se rencontrant à chaque sommet.
Donner les noms et les valeurs des triplets (n, p, q) pour les cinq solides platoniciens représentés ci-après :
En utilisant le fait que dans tout p-gone la somme de tous les angles internes est égale à (p-2)p, démontrez qu'il ne peut y avoir que 5 polyèdres réguliers (Euclide 300 av. J.C.).
Dénombrer les nombres de faces F, d'arêtes A et de sommets S de ces cinq polyèdres et montrez que la quantité F+S-A est égale à une constante que l'on déterminera (relation d'Euler).
Le dual d'un polyèdre s'obtient en joignant les centres des faces ayant une arête commune. Quels sont les polyèdres duaux des cinq solides platoniciens ?
Trouvez pour chaque polyèdre des exemples de molécules chimiques adoptant ces structures. On se limitera aux composés binaires de formule AxBy.
Combien y a-t-il d'axes de rotation d'ordre n (Cn) passant par chacun des sommets pour les cinq polyèdres?
Même question pour les axes passant par le milieu des faces et ceux passant par le milieu des arêtes.
Un plan miroir est dit horizontal lorsqu'il existe un axe de rotation perpendiculaire à ce miroir.
Quels sont les trois solides platoniciens qui ne présentent pas de plans miroirs horizontaux?
Pour les deux autres combien y a-t-il de plans miroir?
Que faudrait-il faire à ces solides platoniciens pour faire disparaître tous les plans miroirs?
Quel est le seul solide platonicien qui ne possède pas de centre de symétrie?
Soit O le centre du polyèdre {p,q} d'arête a et commun à trois sphères: la sphère inscrite de rayon r qui touche toutes les faces en leur milieu, l'intersphère de rayon r qui touche toutes les arêtes en leur milieu et la sphère circonscrite de rayon R qui passe par tous les sommets. On démontre en géométrie les relations suivantes :
Exprimer la hauteur h de chacun des polyèdres platoniciens en fonction de la longueur de l'arête a.
Même question que l'excercice 8 pour la surface, sachant que la surface d'un polygone régulier est égale au demi produit de son périmètre par le rayon du cercle inscrit (apothème).
Même question que l'excercice 8 pour le volume, en sachant que le volume d'une pyramide est égal au tiers du produit de la base par sa hauteur.
Même question que l'excercice 8 pour l'angle entre deux sommets, en appliquant le théorème de pythagore.
Même question que l'excercice 8 pour l'angle entre deux faces partageant une arête (angle dièdre) en considérant le triangle rectangle formé par le centre du polyèdre, le centre d'une face et le milieu d'une arête.
Un polyèdre est dit convexe lorsqu'il est toujours entièrement situé dans l'un des demi-espaces définis par le plan de chacune de ses faces.
En projetant un tel polyèdre quelconque sur l'une de ces faces (diagramme de Schlegel), démontrer que la relation d'Euler est en fait valable pour tout polyèdre convexe (Euler 1758).
Soit un polyèdre présentant f(k) faces k-gonales et c(r) sommets où se joignent r arêtes.
En considérant que chaque arête joint deux sommets et est aussi commune à deux faces, montrer que la relation d'Euler F + S = A + 2, peut se mettre dous la forme:
où µ est une fraction rationelle n/m quelconque.
Quelle condition que doit satisfaire cette fraction µ pour que tous les sommets soient équivalents (polyèdres réguliers et semi-réguliers).
Combien y aura-t-il de solides platoniciens (1 seul type de face)?
Combien y aura-t-il de polyèdres archimédiens semi-réguliers (càd avec plusieurs types de face mais tous les sommets équivalents)?
Existe-t-il des polyèdres chiraux, non superposables à leur image dans un miroir?
Dérivez les conditions d'existence des prismes et antiprismes (polyèdres ayant deux faces k-gonales reliées respectivement par des carrés ou des triangles).
Quels sont les polyèdres duaux de ces prismes et antiprismes?
La photo suivante représente le squelette siliceux d'un radiolaire, animal présent dans le plancton marin.
Quelles est la connectivité du réseau formé par ce squelette?
Pourquoi les hexagones sont-ils majoritaires par rapport aux pentagones ou aux heptagones?
Les pentagones sont-ils en plus grand nombre que les heptagones?
Les heptagones sont-ils nécessaires?
Si non, quel devrait être le nombre exact de pentagones nécessaires pour former le squelette de ces radiolaires?
A quelle famille de polyèdre appartient l'antiprisme à base pentagonale?
Quelle est la connectivité r de chaque sommet?
Quelle relation caractérise cette famille?
Existe-t-il des polyèdre dans cette famille présentant uniquement les connectivités r = 3 et r = 5?
Existe-t-il dans cette famille un polyèdre présentant les connectivités r = 4 et r = 5 simultanément?
Si oui, combien aura-t-il de sommets et est-il possible qu'il appartienne aussi à la famille des deltaèdres (polyèdres n'ayant que des faces triangulaires isocèles).
Peut-on dénombrer la famille des deltaèdres telle que r < 6? Ces polyèdres peuvent-ils tous être construits?
Dernière mise à jour le 18 septembre 1997.
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